برای برآورد مجهولات در یک مدل تابعی که در آن مشاهدات تابعی خطی از مجهولات می باشند، استفاده از روش کمترین مربعات مرسوم است. بهترین برآورد خطی نااریب (BLUE) وقتی حاصل می شود که معکوس ماتریس کواریانس مشاهدات به عنوان ماتریس وزن در نظر گرفته شود. لذا داشتن برآوردی واقع گرایانه از دقت مشاهدات کاملا ضروری است. یکی از روش های بدست آوردن دقت مشاهدات، استفاده از برآورد کمترین مربعات مولفه های وریانس است. در این روش، برآورد وریانس منفی ناممکن نیست، اما برآورد وریانس منفی از لحاظ آماری قابل قبول نمی باشد. لذا در این مقاله برای برآورد نامنفی مولفه های وریانس روش های عددی مانند الگوریتم ژنتیک و همچنین روش های تکراری را بر پایه کمترین مربعات ارائه می دهیم. با استفاده از روش برآورد نامنفی مولفه های وریانس، نه تنها برآورد وریانس نامنفی را ضمانت می کنیم بلکه می توان ترکیبات مختلفی از مدل مولفه های کواریانس مشاهدات را به صورت همزمان مورد مطالعه قرار داد، به طوری که مولفه های که به احتمال زیاد وجود ندارد، به طور خودکار صفر برآورد می گردند. در این مقاله روش های فوق برای ارزیابی نویز موجود در سری های زمانی ایستگاه های دائمی GPS مورد استفاده قرار گرفته شده است. مشاهدات مورد استفاده در این مقاله مختصات بیش از پنج سال (2005- 2010) ایستگاه IGS واقع در مهرآباد تهران و همچنین ایستگاه های دائم واقع در اهواز و مشهد است. برای این حجم داده ها، روش های تکراری بر پایه کمترین مربعات نسبت به روش های عددی مانند الگوریتم ژنتیک، برتری دارند. نتایج حاصل از ارزیابی نویز موجود در سری های زمانی ایستگاه های مذکور با استفاده از روش های برآورد نامنفی مولفه های وریانس، نشانگر آن است که نویز موجود در این سری ها ترکیبی از نویز سفید به اضافه نویز رنگی فلیکر و گاها نویز random walk می باشد.

پردازش داده های ژئودتیکی، عموما با روش کمترین مربعات صورت می گیرد. برای رسیدن به بهترین برآورد نااریب خطی، استفاده از مدل تصادفی مناسب و یا به بیان دیگر ارائه وزن مناسب برای مشاهدات، الزامی است. برای تعیین مدل تصادفی مناسب از روش برآورد مولفه های واریانس استفاده می شود. یکی از کاربرد های ژئودتیکی برآورد مولفه های واریانس، وزن دهی به مشاهدات سیستم تعیین موقعیت جهانی GPS می باشد. در این تحقیق از روش برآورد مولفه های واریانس کمترین مربعات جهت تعیین مدل تصادفی مناسب برای مشاهدات GPS استفاده می شود. مدل تابعی مورد استفاده در این پژوهش، مدل هندسه- مبنا برای مشاهدات تفاضلی مرتبه دوم GPS می باشد. نتایج برای گیرنده های تریمبل 4000 SSi و تریمبل R7 ارائه شده است. نتایج بدست آمده همبستگی قابل توجه 0.55 بین مشاهدات کد CA و P2 در گیرنده تریمبل 4000 SSi و نیز همبستگی قابل توجه 0.64 بین مشاهدات فاز L1 و L2 در گیرنده تریمبل R7 را نشان می دهد.

اندازه گیری جابجایی های سه بعدی پوسته زمین، اطلاعات بسیار مفیدی را در مورد فعل و انفعالات پوسته در اختیار قرار می دهد. تکنیک تداخل سنجی راداری دارای قابلیت های بسیار بالایی برای تعیین میدان جابجایی پوسته می باشد ولی جابجایی های واقعی پوسته زمین را در راستای دید ماهواره اندازه گیری می نماید. در بازیابی میدان سه بعدی جابجایی پوسته زمین با استفاده از مشاهدات تداخل سنجی راداری با دو مسئله اساسی تلفیق مشاهدات با دقت های متفاوت و ناپایدار بودن برآورد مجهولات مواجه هستیم. در این مقاله، روش برآورد مولفه واریانس کمترین مربعات پایدار شده برای بازیابی میدان جابجایی سه بعدی پیشنهاد می شود. برای بررسی کارائی روش پیشنهادی، داده های راداری حاصل از دو ماهواره Envisat و ALOS بر روی یکی از فوران های آتشفشان کیلاویا (Kilauea) واقع در جزایر هاوایی مورد استفاده قرار گرفت. برای اعتبارسنجی نتایج حاصل از روش پیشنهادی، بردارهای جابجایی 19 ایستگاه GNSS واقع در منطقه مطالعاتی مورد استفاده قرار گرفت. نتایج حاصل نشان می دهد که بازیابی میدان جابجایی سه بعدی با روش پیشنهادی بهبود معناداری بر روی دقت و صحت نتایج به ویژه بر روی مولفه شمالی-جنوبی بردار جابجایی ایجاد خواهد نمود.

در این مقاله، کاربرد روش عددی کمترین مربعات برای حل مسایل مختلف مهندسی الکترومغناطیس بطور اجمالی مرور و بررسی می شود. در اینجا، روش کمترین مربعات برای تحلیل و طراحی مسایل مختلف به کار می رود، مانند: حل معادلات، برازش منحنی به داده های اندازه گیری، ضرایب سری فوریه، معادلات با کارگردانهای خطی، معادلات انتگرالی و دیفرانسیلی، مسایل الکتریسیته ساکن و مغناطیس ساکن، مسایل مقادیر مرزی (توسط روش باقیمانده مرزی کمترین مربعات)، طراحی مبدلهای امپدانس و خطوط پله ای و باریک شونده برای تطبیق امپدانس، طراحی بهینه پیوننده های جهتی چند سوراخه، پیوننده خط پیونیده، پیوننده خط شاخه ای، پیوننده حلقوی، تحلیل آنتی سیمی، سنتز پرتو آنتن، سنتز آرایه و پراکندگی، در این مطالعه آشکار می شود که روش عددی کمترین مربعات را می توان برای تدیون الگوریتمهای موثری برای تحلیل و طراحی مسایل مختلف در موضوعات تشعشع، پراکندگی، آنتنها، میکروویو، ریاضیات مهندسی و غیره به کار برد. بعضی مقالات و کتب منتشر شده در زمینه کاربردهای روش کمترین مربعات برای تحلیل و طراحی مسایل مهندسی الکترومغناطیس گروه بندی شده و در بخش مراجع ذکر شده است.

امروزه با توسعه شبکه های محلی و منطقه ای تعیین موقعیت ماهواره ای و همچنین سهولت در دسترس بودن اندازه گیری های آن ها، استفاده از مشاهدات این شبکه ها جهت تولید مدل های دقیق برای برآورد کمیت بخار آب قابل بارش (PWV)، به یک امر مهم و ضروری تبدیل شده است. بنابراین، در این مقاله مقدار PWV با استفاده از مدل کمترین مربعات رگرسیون بردار پشتیبان (LS-SVR) به صورت مکانی-زمانی مدل سازی و پیش بینی می شود. مدل LS-SVR از معادلات خطی ساده در مرحله آموزش استفاده می کند. در نتیجه، پیچیدگی الگوریتم محاسباتی کاهش یافته، سرعت همگرایی و دقت نتایج افزایش می یابد. هفت پارامتر طول و عرض جغرافیایی ایستگاه GPS، روز از سال (DOY)، زمان به وقت جهانی (UT)، رطوبت نسبی (RH)، دما (T) و فشار (P) به عنوان ورودی های مدل LS-SVR در نظر گرفته شده و PWV متناظر با این هفت پارامتر، به عنوان خروجی مدل است. پس از مرحله آموزش، مقدار PWV با مدل آموزش دیده، برآورد شده و با مقادیر PWV حاصل از ایستگاه رادیوسوند، مدل تجربی ساستاموینن، مدل GPT3، مدل توموگرافی المان های حجمی، مدل رگرسیون بردار پشتیان (SVR)، مدل کریجینگ و مدل شبکه عصبی توابع پایه شعاعی (RBNN) در ایستگاه های کنترل، مقایسه شده است. آنالیزهای انجام گرفته نشان می دهد که میانگین RMSE مدل های RBNN، SVR، توموگرافی، کریجینگ، LS-SVR، GPT3 و ساستاموینن در سه ایستگاه کنترل به ترتیب برابر با 92/4، 13/4، 13/3، 32/4، 87/2، 22/4 و 29/4 میلی متر بوده است. همچنین میانگین خطای نسبی محاسبه شده در ایستگاه رادیوسوند برای مدل های RBNN، SVR، LS-SVR، توموگرافی و کریجینگ به ترتیب 11/25، 10/14، 38/10، 44/11 و 98/14 درصد است. تجزیه و تحلیل روش PPP بهبود 33 میلی متری در مؤلفه های مختصات با استفاده از مدل LS-SVR را نشان می دهد. نتایج این مقاله نشان می دهد که مدل LS-SVR را می توان به عنوان جایگزینی برای مدل های تجربی تروپسفر در منطقه مورد مطالعه در نظر گرفت. مدل LS-SVR یک مدل تروپسفر محلی با دقت بالا محسوب می شود.